Вычислить интеграл

Привет! Давай решим этот интеграл вместе.

Мы видим, что нужно вычислить интеграл от \(\frac{3x}{x^2 - 4}\) по \(x\).

1. Замена переменной:

   Настроимся на замену переменной. Заметив, что знаменатель \(x^2 - 4\) можно представить как \((x-2)(x+2)\), можно попробовать метод частичной дроби или простую замену. Однако здесь логично разложить интеграл.

2. Разложение на простые дроби:

   \(\frac{3x}{x^2 - 4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}\)

   Приравняем числители:

   \(3x = A(x+2) + B(x-2)\)

   Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\).

3. Найдем коэффициенты:

   \(3x = Ax + 2A + Bx - 2B\)

   \(3 = A + B\) и \(0 = 2A - 2B\)

   Отсюда:

   • Из второго уравнения получаем \(A = B\).
   • Подставив в первое уравнение: \(3 = A + A = 2A\), получаем \(A = \frac{3}{2}\) и \(B = \frac{3}{2}\).

4. Запишем интеграл:

   Теперь у нас есть:

   \(\int \left(\frac{3/2}{x-2} + \frac{3/2}{x+2}\right) dx\)

5. Решаем интегралы:

   • \(\int \frac{3/2}{x-2} dx = \frac{3}{2} \ln|x-2|\)
   • \(\int \frac{3/2}{x+2} dx = \frac{3}{2} \ln|x+2|\)

6. Записываем общий интеграл:

   Ответ: \(\frac{3}{2} \ln|x-2| + \frac{3}{2} \ln|x+2| + C\)

Где \(C\) — константа интегрирования. Надеюсь, объяснение было ясным! Если есть вопросы, пиши.