Найти производные функций

Привет! Давай разберёмся с задачей. У нас есть функция, для которой нужно найти производную:

\[ y = \left( x^5 + \frac{3}{x^3} - 8\cos(4x) \right)^5 \]

Для нахождения производной воспользуемся правилом цепочки:

1. Внешняя функция: \( u^5 \) - производная \( 5u^4 \).
2. Внутренняя функция: \( u = x^5 + \frac{3}{x^3} - 8\cos(4x) \).

Теперь найдем производную внутренней функции:

• Производная \( x^5 \) равна \( 5x^4 \).
• Производная \( \frac{3}{x^3} \) равна \(- \frac{9}{x^4} \).
• Производная \(-8\cos(4x)\) равна \( 32\sin(4x) \) (используя цепное правило с производной \(\cos(kx)\) как \(-k\sin(kx)\)).

Соберём всё вместе:

Производная \( u \) равна \( 5x^4 - \frac{9}{x^4} + 32\sin(4x) \).

Теперь подставляем в производную внешней функции:

Производная \( y \):

\[ 5 \left(x^5 + \frac{3}{x^3} - 8\cos(4x)\right)^4 \times \left( 5x^4 - \frac{9}{x^4} + 32\sin(4x) \right) \]

Готово! Если что-то непонятно, спрашивай.