при каком значении m выкторы а и b ортогональны , если а=4i+mi+7k и b=mi+3j-4k?

Чтобы определить значение \( m \), при котором векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) ортогональны, нужно использовать условие, что скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Векторы заданы как: \[ \mathbf{a} = 4i + mi + 7k \] \[ \mathbf{b} = mi + 3j - 4k \]

Сначала соберем компоненты векторов:

• У вектора \( \mathbf{a} \) компоненты: \( (4, m, 7) \)
• У вектора \( \mathbf{b} \) компоненты: \( (m, 3, -4) \)

Скалярное произведение \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) рассчитывается по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \] где \( a_x, a_y, a_z \) — компоненты вектора \( \mathbf{a} \), а \( b_x, b_y, b_z \) — компоненты вектора \( \mathbf{b} \).

Подставим значения в формулу: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4m + m \cdot 3 + 7 \cdot (-4) \]

Теперь упростим выражение: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4m + 3m - 28 = 7m - 28 \]

Для ортогональности векторов это скалярное произведение должно быть равно нулю: \[ 7m - 28 = 0 \]

Решим это уравнение: \[ 7m = 28 \\ m = \frac{28}{7} = 4 \]

Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) ортогональны при \( m = 4 \).