4. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 66. Найдите эти числа. 5. Лодка проходит путь в 30 км по течению реки за 2 часа, а против течения реки за 3 часа. Найдите…
4. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 66. Найдите эти числа. 5. Лодка проходит путь в 30 км по течению реки за 2 часа, а против течения реки за 3 часа. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Обозначим два числа как \( x \) и \( y \). Из условия задачи у нас есть два уравнения:
\( x - y = 5 \) (разность чисел равна 5)
\( xy = 66 \) (произведение чисел равно 66)
Сначала из первого уравнения выразим одно число через другое. Например, можем выразить \( x \):
\[ x = y + 5 \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ (y + 5)y = 66 \]
Раскроем скобки:
\[ y^2 + 5y - 66 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) \] \[ D = 25 + 264 = 289 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 17}{2} \]
Теперь вычислим корни:
- \( y_1 = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( y_2 = \frac{-22}{2} = -11 \)
Теперь подставим найденные \( y \) обратно в уравнение для \( x \):
- Если \( y = 6 \), тогда \( x = 6 + 5 = 11 \).
- Если \( y = -11 \), тогда \( x = -11 + 5 = -6 \).
Таким образом, мы получили два набора чисел: \( (11, 6) \) и \( (-6, -11) \).
- Обозначим собственную скорость лодки как \( v \), а скорость течения реки как \( c \).
По условию задачи, когда лодка движется по течению, ее скорость составит \( v + c \), а когда против течения – \( v - c \). Теперь запишем уравнения, исходя из данных о времени и расстоянии:
- По течению: \( 30 = (v + c) \cdot 2 \)
- Против течения: \( 30 = (v - c) \cdot 3 \)
Теперь удостоверимся, что у нас есть два уравнения:
- \( v + c = 15 \) (делим первое уравнение на 2)
- \( v - c = 10 \) (делим второе уравнение на 3)
Теперь сложим оба уравнения:
\[ (v + c) + (v - c) = 15 + 10 \] \[ 2v = 25 \] \[ v = 12.5 \text{ км/ч} \]
Теперь подставим значение \( v \) в одно из уравнений для нахождения \( c \):
\[ 12.5 + c = 15 \] \[ c = 15 - 12.5 = 2.5 \text{ км/ч} \]
Таким образом, собственная скорость лодки составляет 12.5 км/ч, а скорость течения реки – 2.5 км/ч.
