Давайте разберем ваши предложения, выделим сказуемые и определим их тип.
1 вариант:
На темном небе начинали мелькать звезды.
- Сказуемое: начинали мелькать
- Тип сказуемого: составное именное (первое слово "начинали" — глагол, второе — "мелькать" — инфинитив).
Я с удивлением узнал, что буду обедать в один.
- Сказуемое: узнал
- Тип сказуемого: простое глагольное, так как состоит из одного глагола.
Бунин был смел, честен в своих убеждениях.
- Сказуемое: был смел, честен
- Тип сказуемого: составное именное (связка "был" и качественные прилагательные "смел", "честен").
2 вариант:
- Невский проспект есть всеобщая коммуникация Петербурга.
- Сказуемое: есть всеобщая коммуникация
- Тип сказуемого: составное именное (связка "есть" и именительное выражение "всеобщая коммуникация").
Разделив на части и проанализировав каждое предложение, можно четко увидеть, как строятся сказуемые и какие у них виды. Если у вас есть дополнительные вопросы по теме, не стесняйтесь задавать!