исследуйте функцию на монотонность и экстремумы; f ( x) =8x3 - 3x4 -7
Чтобы исследовать функцию \( f(x) = 8x^3 - 3x^4 - 7 \) на монотонность и экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов.
1. Найдем производную функции
Первым делом найдем первую производную \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(8x^3 - 3x^4 - 7) = 24x^2 - 12x^3 \]
2. Упростим производную
Можно вынести общий множитель:
\[ f'(x) = 12x^2(2 - x) \]
3. Найдем критические точки
Чтобы определить, где функция имеет экстремумы, приравняем производную к нулю:
\[ 12x^2(2 - x) = 0 \]
Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:
- \( 12x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
- \( 2 - x = 0 \) → \( x = 2 \)
Таким образом, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
4. Исследуем знак производной
Теперь определим интервалы, которые определяются этими критическими точками, и исследуем, где производная положительна, а где отрицательна.
- Рассмотрим интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, +\infty) \).
Теперь выберем тестовые значения из каждого интервала:
Для \( x = -1 \) (из интервала \( (-\infty, 0) \)): \[ f'(-1) = 12(-1)^2(2 - (-1)) = 12 \cdot 1 \cdot 3 = 36 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Для \( x = 1 \) (из интервала \( (0, 2) \)): \[ f'(1) = 12(1)^2(2 - 1) = 12 \cdot 1 \cdot 1 = 12 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Для \( x = 3 \) (из интервала \( (2, +\infty) \)): \[ f'(3) = 12(3)^2(2 - 3) = 12 \cdot 9 \cdot (-1) = -108 < 0 \quad (\text{убывает}) \]
5. Подводим итог по монотонности
- Функция возрастает на интервале \( (-\infty, 0) \)
- Функция возрастает на интервале \( (0, 2) \)
- Функция убывает на интервале \( (2, +\infty) \)
6. Определяем экстремумы
- В точке \( x = 0 \): функция меняет монотонность с возрастания на возрастание. Это точка минимума.
- В точке \( x = 2 \): функция меняет монотонность с возрастания на убывание. Это точка максимума.
7. Значения функции в экстремумах
Теперь можно найти значения функции в этих точках:
- \( f(0) = 8(0)^3 - 3(0)^4 - 7 = -7 \)
- \( f(2) = 8(2)^3 - 3(2)^4 - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 \)
Заключение
Таким образом, мы провели исследование функции \( f(x) = 8x^3 - 3x^4 - 7 \) на монотонность и экстремумы. У нас есть:
- Минимум в точке \( (0, -7) \)
- Максимум в точке \( (2, 9) \)
Если у вас остались вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
