Решить задачу 2,3,5

Привет! Давай решим задачу 2 и 3 из твоего учебника.

Задача 2: Нужно проверить коллинеарность векторов \( \mathbf{a} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} \) и \( \mathbf{b} = 6\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \).

Для векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) необходимо выяснить, линейно ли они зависимы. Другими словами, нужно проверить, можно ли один вектор выразить как один и тот же скаляр, умноженный на другой вектор.

Условие коллинеарности: \( \mathbf{b} = k \mathbf{a} \). Находим \( k \) для каждого компонента:

1. \( 6 = k \times 3 \rightarrow k = 2 \)
2. \( 4 = k \times 2 \rightarrow k = 2 \)
3. \( 2 = k \times 1 \rightarrow k = 2 \)

Во всех случаях \( k = 2 \), значит, векторы коллинеарны.

Задача 3: Найти косинус угла между векторами \( \mathbf{a} = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \) и \( \mathbf{c} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k} \).

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{c}|} \]

1. Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (-2 \times 3) + (1 \times -2) + (2 \times 1) = -6 - 2 + 2 = -6 \).

2. Модуль вектора \( \mathbf{a} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \).

3. Модуль вектора \( \mathbf{c} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \).

4. Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-6}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{-6}{3\sqrt{14}} = \frac{-2}{\sqrt{14}} \]

Вот так. Если что-то непонятно, или у тебя есть еще вопросы, дай знать!