интеграл из e^x × dx / cos²(e^x - 1)

Для нахождения интеграла \(\int \frac{e^x}{\cos^2(e^x - 1)} \, dx\) можно использовать метод подстановки. Обозначим:

\( u = e^x - 1 \)

Тогда производная \( du = e^x \, dx \), или \( dx = \frac{du}{e^x} \). Заметим, что \( e^x = u + 1 \) (так как \( u = e^x - 1 \)).

Подставим это в интеграл:

\[ \int \frac{e^x}{\cos^2(e^x - 1)} \, dx = \int \frac{u + 1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{du}{u + 1} = \int \frac{1}{\cos^2(u)} \, du \]

Теперь мы можем воспользоваться тем, что \(\frac{1}{\cos^2(u)}\) равно \(\sec^2(u)\). Интеграл от \(\sec^2(u)\) дает тангенс:

\[ \int \sec^2(u) \, du = \tan(u) + C \]

Теперь вернемся к переменной \(x\). Мы имеем \(u = e^x - 1\), поэтому:

\[ \tan(u) = \tan(e^x - 1) \]

Таким образом, окончательный ответ для интеграла будет:

\[ \int \frac{e^x}{\cos^2(e^x - 1)} \, dx = \tan(e^x - 1) + C \]

Где \(C\) - константа интегрирования. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим связанным задачам, не стесняйтесь спрашивать!