1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Через сколько секунд оно будет на высоте 15м? Сопротивлением воздуха пренебречь. (Сделать пояснительный рисунок)
Для решения задачи используем уравнение движения для тела, брошенного вертикально вверх. Уравнение движения имеет следующий вид:
\[ h(t) = v_0 t - \frac{g}{2} t^2, \]
где:
- \( h(t) \) — высота в момент времени \( t \),
- \( v_0 = 20 \, \text{м/с} \) — начальная скорость,
- \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения (берем значение около 9.81 м/с²),
- \( t \) — время в секундах.
Нам нужно найти время \( t \), когда \( h(t) = 15 \, \text{м} \).
Подставляем значение высоты в уравнение:
\[ 15 = 20t - \frac{9.81}{2} t^2. \]
Переписываем уравнение:
\[ 0 = \frac{9.81}{2} t^2 - 20t + 15. \]
Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 0 = 9.81 t^2 - 40t + 30. \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 9.81, b = -40, c = 30 \).
Подставляем значения:
\[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 9.81 \cdot 30. \] \[ D = 1600 - 1178.8. \] \[ D = 421.2. \]
Теперь вычислим корни уравнения по формуле: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляем значения:
\[ t = \frac{40 \pm \sqrt{421.2}}{2 \cdot 9.81}. \] \[ t = \frac{40 \pm 20.56}{19.62}. \]
Вычисляем два значения для \( t \):
При \( + \): \[ t_1 = \frac{40 + 20.56}{19.62} \approx \frac{60.56}{19.62} \approx 3.08 \, \text{с}. \]
При \( - \): \[ t_2 = \frac{40 - 20.56}{19.62} \approx \frac{19.44}{19.62} \approx 0.99 \, \text{с}. \]
Таким образом, тело будет на высоте 15 м через 0.99 секунды при восходящем движении и через 3.08 секунды после начала движения, когда оно будет возвращаться вниз.
Пояснительный рисунок:
Восходящий путь:
- Исходная точка — старт (высота 0 м)
- Высота 15 м (0.99 с) — тело поднимается.
- Далее тело продолжает подниматься до максимальной высоты.
Нисходящий путь:
- Исходная точка — старт (высота 0 м)
- Максимальная высота — в какой-то момент поднимется и начнет опускаться.
- Высота 15 м (3.08 с) — тело опускается и проходит высоту 15 м.
На рисунке можно указать начальную высоту, высоту 15 м и максимальную высоту.
Вывод:
- Время подъема на 15 м — 0.99 с.
- Время спуска на 15 м — 3.08 с.
