Дан треугольник АВС найдите: а) длины векторов АВ, ВС, АС. б) углы между векторами АВ и АС. Если известны координаты вершин треугольника: А(-5;2;-2), B(-4;3;0), C(-5;2;0).

Для решения этой задачи сначала найдем длины векторов \( \vec{AB} \), \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \) на основе координат точек:

• \( A(-5; 2; -2) \)
• \( B(-4; 3; 0) \)
• \( C(-5; 2; 0) \)

а) Длины векторов

1. Вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-4; 3; 0) - (-5; 2; -2) = (1; 1; 2) \] Длина вектора \( \vec{AB} \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]

2. Вектор \( \vec{BC} \): \[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (-5; 2; 0) - (-4; 3; 0) = (-1; -1; 0) \] Длина вектора \( \vec{BC} \): \[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \]

3. Вектор \( \vec{AC} \): \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-5; 2; 0) - (-5; 2; -2) = (0; 0; 2) \] Длина вектора \( \vec{AC} \): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2 \]

Итак, длины векторов:

• \( |\vec{AB}| = \sqrt{6} \)
• \( |\vec{BC}| = \sqrt{2} \)
• \( |\vec{AC}| = 2 \)

б) Углы между векторами

Чтобы найти угол между векторами, можно воспользоваться формулой на основе скалярного произведения. Угол \( \theta \) между векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]

1. Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1; 1; 2) \cdot (0; 0; 2) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 4 \] \[ \cos(\theta_{AB,AC}) = \frac{4}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{4}{\sqrt{6} \cdot 2} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Угол \( \theta_{AB,AC} = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \).

2. Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (1; 1; 2) \cdot (-1; -1; 0) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = -2 \] \[ \cos(\theta_{AB,BC}) = \frac{-2}{|\vec{AB}| |\vec{BC}|} = \frac{-2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{12}} = \frac{-1}{\sqrt{3}} \] Угол \( \theta_{AB,BC} = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) \).

3. Угол между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{BC} \): \[ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = (0; 0; 2) \cdot (-1; -1; 0) = 0\cdot(-1) + 0\cdot(-1) + 2\cdot 0 = 0 \] \[ \cos(\theta_{AC,BC}) = 0 \] Угол \( \theta_{AC,BC} = \frac{\pi}{2} \) (90 градусов).

Таким образом, мы нашли:

• Длину векторов \( \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{AC} \)
• Углы между векторами.