интеграл (6x+1)×sin2x dx

Чтобы решить интеграл \(\int (6x + 1) \cdot \sin(2x) \, dx\), мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Где:

• \(u\) – выбор функции, производная которой будет проще,
• \(dv\) – оставшаяся часть.

В данном случае, мы можем выбрать:

• \(u = 6x + 1 \Rightarrow du = 6 \, dx\)
• \(dv = \sin(2x) \, dx \Rightarrow v = -\frac{1}{2} \cos(2x)\) (так как \(\int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x)\))

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

\[ \int (6x + 1) \sin(2x) \, dx = (6x + 1) \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) - \int -\frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 6 \, dx \]

Упрощаем это выражение:

\[ = -\frac{1}{2} (6x + 1) \cos(2x) + 3 \int \cos(2x) \, dx \]

Теперь нам нужно решить интеграл \(\int \cos(2x) \, dx\):

\[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) \]

Подставим это обратно:

\[ \int (6x + 1) \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} (6x + 1) \cos(2x) + 3 \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) \]

Это дает нам:

\[ = -\frac{1}{2} (6x + 1) \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x) + C \]

где \(C\) – произвольная константа интегрирования.

Таким образом, итоговый ответ для интеграла:

\[ \int (6x + 1) \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} (6x + 1) \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x) + C \]