Дан треугольник АВС найдите: а) длины векторов АВ, ВС, АС. б) углы между векторами АВ и АС. Если известны координаты вершин треугольника: А(-5;2;-2), B(-4;3;0), C(-5;2;0).
Давайте сначала найдем длины векторов \( \vec{AB} \), \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \).
- Вычислим векторы:
\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-4, 3, 0) - (-5, 2, -2) = (1, 1, 2) \]
\[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-5, 2, 0) - (-5, 2, -2) = (0, 0, 2) \]
\[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (-5, 2, 0) - (-4, 3, 0) = (-1, -1, 0) \]
- Теперь найдем длины векторов:
Длина вектора \( \vec{AB} \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]
Длина вектора \( \vec{AC} \): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2 \]
Длина вектора \( \vec{BC} \): \[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \]
Таким образом, мы получили длины векторов:
- \( |\vec{AB}| = \sqrt{6} \)
- \( |\vec{AC}| = 2 \)
- \( |\vec{BC}| = \sqrt{2} \)
- Теперь найдем углы между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
Используем формулу для нахождения угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} \]
Вычислим скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1, 1, 2) \cdot (0, 0, 2) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 4 \]
Теперь подставим все значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{4}{\sqrt{6} \cdot 2} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]
Теперь находим угол \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \]
Таким образом, мы нашли углы между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).
Ответ: а) \( |\vec{AB}| = \sqrt{6} \), \( |\vec{AC}| = 2 \), \( |\vec{BC}| = \sqrt{2} \)
б) \( \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \) между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)
