Найди множество значений функции f(X)= корень из x²+10x+37

Чтобы найти множество значений функции \( f(x) = \sqrt{x^2 + 10x + 37} \), начнем с анализа подкоренной части — выражения \( x^2 + 10x + 37 \).

1. Определим, является ли подкоренное выражение всегда положительным.
   Для этого найдем дискриминант квадратичного уравнения \( x^2 + 10x + 37 \): \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 100 - 148 = -48 \] Дискриминант отрицательный, что указывает на то, что уравнение \( x^2 + 10x + 37 = 0 \) не имеет вещественных корней, и подкоренное выражение всегда положительно для всех \( x \).

2. Теперь найдем минимум функции \( g(x) = x^2 + 10x + 37 \).
   Минимум квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) находится в точке: \[ x_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5 \] Подставим этот \( x \) обратно в выражение \( g(x) \): \[ g(-5) = (-5)^2 + 10 \cdot (-5) + 37 = 25 - 50 + 37 = 12 \]

3. Следовательно, минимум функции \( f(x) \): \[ f(x) = \sqrt{g(x)} \Rightarrow f(-5) = \sqrt{12} \]

4. Множество значений функции:
   Поскольку \( g(x) \) всегда больше или равно 12, и, соответственно, \( f(x) \geq \sqrt{12} \), множество значений функции \( f(x) \) будет от \( \sqrt{12} \) до бесконечности.

Таким образом, множество значений функции \( f(x) \) можно записать как: \[ [ \sqrt{12}, +\infty ) \]

Это означает, что функция принимает все значения от \( \sqrt{12} \) и выше.