для функции f(x) найдите первообразную, проходящую через точку М, если f (x) = sin 4x + cos x, M ( п/2 ;2)
Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \sin(4x) + \cos(x) \), сначала нужно найти неопределённый интеграл этой функции.
Интегрирование каждого элемента отдельно:
\[ \int f(x) \, dx = \int (\sin(4x) + \cos(x)) \, dx = \int \sin(4x) \, dx + \int \cos(x) \, dx \]
Для первого интеграла используем подстановку. Положим \( u = 4x \), тогда \( du = 4 \, dx \), и \( dx = \frac{du}{4} \).
\[ \int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C_1 \]
Для второго интеграла:
\[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C_2 \]
Теперь объединим оба результата:
\[ \int f(x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + \sin(x) + C \]
Теперь найдём значение константы интегрирования \( C \), используя координаты точки \( M \left( \frac{\pi}{2}, 2 \right) \). Подставим \( x = \frac{\pi}{2} \) в полученную первообразную:
\[ -\frac{1}{4} \cos(4 \cdot \frac{\pi}{2}) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 2 \]
Сначала вычислим значения:
\[ -\frac{1}{4} \cos(2\pi) + 1 + C = 2 \] Так как \( \cos(2\pi) = 1 \):
\[ -\frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + C = 2 \]
Это упрощается до:
\[ -\frac{1}{4} + 1 + C = 2 \]
То есть:
\[ \frac{3}{4} + C = 2 \quad \Rightarrow \quad C = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \]
Таким образом, полностью определённая первообразная будет:
\[ F(x) = -\frac{1}{4} \cos(4x) + \sin(x) + \frac{5}{4} \]
Это и есть искомая первообразная функции \( f(x) \), проходящая через точку \( M \).
