x-1/x+5<=0

Чтобы решить неравенство \( \frac{x-1}{x+5} \leq 0 \), начнём с анализа его знаков.

1. Определим нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \( x - 1 = 0 \) даёт \( x = 1 \).
   • Знаменатель: \( x + 5 = 0 \) даёт \( x = -5 \).

   Обратите внимание, что в точке \( x = -5 \) выражение не определено.

2. Разобьем числовую линию на интервалы: Мы имеем три ключевые точки: \( -5 \) и \( 1 \). Это делит числовую линию на следующие интервалы:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-5, 1) \)
   • \( (1, \infty) \)

3. Проверим знак дроби на каждом интервале:

   • Для \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \[ \frac{-6-1}{-6+5} = \frac{-7}{-1} = 7 \quad (\text{положительное}) \]
   • Для \( -5 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{0-1}{0+5} = \frac{-1}{5} \quad (\text{отрицательное}) \]
   • Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ \frac{2-1}{2+5} = \frac{1}{7} \quad (\text{положительное}) \]

4. Записываем результат: Теперь у нас есть знаки для каждого интервала:

   • \( (-\infty, -5) \): положительное
   • \( (-5, 1) \): отрицательное
   • \( (1, \infty) \): положительное

5. Определяем, где неравенство выполняется: Неравенство \( \frac{x-1}{x+5} \leq 0 \) выполняется в интервале \( (-5, 1] \). Включаем 1, потому что в этой точке дробь равна 0.

6. Запись ответа: Таким образом, решением данного неравенства будет: \[ x \in (-5, 1] \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим учебным материалам, не стесняйтесь спрашивать!