Давайте рассмотрим каждое из утверждений о деепричастиях:
Деепричастие не изменяется. — Это верное утверждение. Деепричастия, как правило, не склоняются и не изменяются по лицам и числам.
Деепричастия в предложении являются обстоятельством. — Это также верно. Деепричастия чаще всего выполняют функцию обстоятельств, отвечая на вопросы как? почему? когда? и т.д.
Деепричастный оборот выделяется запятыми, если стоит после определенного слова. — Это неверное утверждение. Деепричастный оборот всегда выделяется запятыми, независимо от его положения в предложении (до или после определенного слова).
Деепричастие может иметь при себе зависимые слова. — Это правда. Деепричастия могут сопровождаться зависимыми словами, которые уточняют или дополняют их значение.
Таким образом, неверное утверждение – это третье: "деепричастный оборот выделяется запятыми, если стоит после определенного слова."
Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!