Вычислить производную: y = In(tg4x)

Чтобы вычислить производную функции \( y = \ln(\tan(4x)) \), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

1. Первая функция — это натуральный логарифм \( \ln(u) \), где \( u = \tan(4x) \). Производная логарифмической функции:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \]

2. Вторая функция — это тангенс, который сам является сложной функцией. Используем цепное правило. Производная тангенса:

\[ \frac{d}{dx}(\tan(v)) = \sec^2(v) \cdot \frac{dv}{dx} \]

где \( v = 4x \). То есть, производная \( \tan(4x) \):

\[ \frac{du}{dx} = \sec^2(4x) \cdot 4 = 4 \sec^2(4x) \]

3. Теперь подставим полученные результаты в формулу:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan(4x)} \cdot 4 \sec^2(4x) \]

4. Зная, что \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \) и \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), можно писать ответ в более компактной форме:

\[ \frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{\sec^2(4x)}{\tan(4x)} = 4 \cdot \frac{1}{\tan(4x) \cos^2(4x)} \]

Таким образом, окончательная производная:

\[ \frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{1}{\sin(4x)} \]

Или:

\[ \frac{dy}{dx} = 4 \csc(4x) \]

Это окончательный ответ.