Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(omega) = (A_{0} * omega_{p} ^ 2)/|omega_{p} ^ 2 - omega ^ 2| где частота вынуждающей…
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(omega) = (A_{0} * omega_{p} ^ 2)/|omega_{p} ^ 2 - omega ^ 2| где частота вынуждающей силы в с¯¹, Ао -постоянный параметр, omega_{p} = 500c ^ - 1 резонансная частота. Найдите максимальную частоту о, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину Ар не более чем на 56,25%. Ответ выразите в с-1.
Чтобы решить задачу, сначала разберем формулу амплитуды колебаний маятника:
\[ A(\omega) = \frac{A_0 \cdot \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \]
где:
- \( A(\omega) \) — амплитуда колебаний при частоте \( \omega \);
- \( A_0 \) — постоянный параметр;
- \( \omega_p = 500 \, \text{с}^{-1} \) — резонансная частота;
- \( \omega \) — частота вынуждающей силы.
По условию задачи, мы должны найти максимальную частоту \( \omega \), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превышает величину \( A_0 \) не более чем на 56,25%.
Это условие можно записать математически как:
\[ A(\omega) \leq A_0 \cdot (1 + 0.5625) = 1.5625 \cdot A_0 \]
Подставим это в формулу:
\[ \frac{A_0 \cdot \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1.5625 \cdot A_0 \]
Убираем \( A_0 \) из неравенства (при условии, что \( A_0 > 0 \)):
\[ \frac{\omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1.5625 \]
Теперь умножим обе стороны на \( |\omega_p^2 - \omega^2| \):
\[ \omega_p^2 \leq 1.5625 |\omega_p^2 - \omega^2| \]
Разделяем на \( 1.5625 \):
\[ \frac{\omega_p^2}{1.5625} \leq |\omega_p^2 - \omega^2| \]
Сначала найдем \( \frac{\omega_p^2}{1.5625} \):
\[ \omega_p^2 = (500 \, \text{с}^{-1})^2 = 250000 \, \text{с}^{-2} \] \[ \frac{\omega_p^2}{1.5625} = \frac{250000}{1.5625} = 160000 \, \text{с}^{-2} \]
Теперь имеем:
\[ |\omega_p^2 - \omega^2| \geq 160000 \]
Рассмотрим два случая:
- \( \omega_p^2 - \omega^2 \geq 160000 \)
- \( \omega^2 - \omega_p^2 \geq 160000 \)
Первый случай (так как мы ищем частоту \( \omega \), меньшую резонансной):
\[ \omega_p^2 - \omega^2 \geq 160000 \]
Поэтому:
\[ \omega_p^2 - 160000 \geq \omega^2 \]
Подставляем \( \omega_p^2 \):
\[ 250000 - 160000 \geq \omega^2 \]
\[ 90000 \geq \omega^2 \]
\[ \omega \leq \sqrt{90000} = 300 \, \text{с}^{-1} \]
Таким образом, максимальная частота \( \omega \), меньшая резонансной и соответствующая условию задачи, равняется \( 300 \, \text{с}^{-1} \).
