Чтобы решить задачу, сначала разберем формулу амплитуды колебаний маятника:
[ A(\omega) = \frac{A_0 \cdot \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} ]
где:
- ( A(\omega) ) — амплитуда колебаний при частоте ( \omega );
- ( A_0 ) — постоянный параметр;
- ( \omega_p = 500 , \text{с}^{-1} ) — резонансная частота;
- ( \omega ) — частота вынуждающей силы.
По условию задачи, мы должны найти максимальную частоту ( \omega ), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превышает величину ( A_0 ) не более чем на 56,25%.
Это условие можно записать математически как:
[ A(\omega) \leq A_0 \cdot (1 + 0.5625) = 1.5625 \cdot A_0 ]
Подставим это в формулу:
[ \frac{A_0 \cdot \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1.5625 \cdot A_0 ]
Убираем ( A_0 ) из неравенства (при условии, что ( A_0 > 0 )):
[ \frac{\omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1.5625 ]
Теперь умножим обе стороны на ( |\omega_p^2 - \omega^2| ):
[ \omega_p^2 \leq 1.5625 |\omega_p^2 - \omega^2| ]
Разделяем на ( 1.5625 ):
[ \frac{\omega_p^2}{1.5625} \leq |\omega_p^2 - \omega^2| ]
Сначала найдем ( \frac{\omega_p^2}{1.5625} ):
[
\omega_p^2 = (500 , \text{с}^{-1})^2 = 250000 , \text{с}^{-2}
]
[
\frac{\omega_p^2}{1.5625} = \frac{250000}{1.5625} = 160000 , \text{с}^{-2}
]
Теперь имеем:
[ |\omega_p^2 - \omega^2| \geq 160000 ]
Рассмотрим два случая:
- ( \omega_p^2 - \omega^2 \geq 160000 )
- ( \omega^2 - \omega_p^2 \geq 160000 )
Первый случай (так как мы ищем частоту ( \omega ), меньшую резонансной):
[ \omega_p^2 - \omega^2 \geq 160000 ]
Поэтому:
[ \omega_p^2 - 160000 \geq \omega^2 ]
Подставляем ( \omega_p^2 ):
[ 250000 - 160000 \geq \omega^2 ]
[ 90000 \geq \omega^2 ]
[ \omega \leq \sqrt{90000} = 300 , \text{с}^{-1} ]
Таким образом, максимальная частота ( \omega ), меньшая резонансной и соответствующая условию задачи, равняется ( 300 , \text{с}^{-1} ).
