Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки 5 см и 15 см. Чему равен меньший катет треугольника?
Для решения задачи используем теорему о высоте, проведенной из прямого угла прямоугольного треугольника. Обозначим:
- \( AC \) - гипотенуза треугольника,
- \( BC \) - один из катетов,
- \( AB \) - другой катет,
- \( D \) - точка, где высота проводит из вершины прямого угла \( B \) и пересекает гипотенузу \( AC \).
По условию, длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу, составляют \( AD = 5 \) см и \( DC = 15 \) см.
Первый шаг — находим всю длину гипотенузы \( AC \): \[ AC = AD + DC = 5 \, \text{см} + 15 \, \text{см} = 20 \, \text{см}. \]
Теперь мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, согласно которому: \[ h^2 = AD \cdot DC, \] где \( h \) — высота. Подставим известные длины отрезков: \[ h^2 = 5 \cdot 15 = 75. \] Следовательно, высота: \[ h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \, \text{см}. \]
Теперь воспользуемся формулой для вычисления катетов \( AB \) и \( BC \) прямоугольного треугольника: \[ AB = \frac{h^2}{DC}, \] \[ BC = \frac{h^2}{AD}. \]
Подставим значение высоты и длины отрезков:
Для \( AB \) (катет, относящийся к отрезку \( DC \)): \[ AB = \frac{75}{15} = 5 \, \text{см}. \]
Для \( BC \) (катет, относящийся к отрезку \( AD \)): \[ BC = \frac{75}{5} = 15 \, \text{см}. \]
Таким образом, меньший катет треугольника равен: \[ 5 \, \text{см}. \]
Итак, ответ: меньший катет треугольника равен 5 см.
