3х-1 - х-9 х² 3х

Чтобы решить уравнение \( \frac{3x - 1}{x - 9} = \frac{x^2}{3x} \), начнем с того, чтобы упростить его.

1. Исключаем дроби, умножив обе стороны на \( 3x(x - 9) \) (при условии, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 9 \)): \[ (3x - 1) \cdot 3x = x^2 \cdot (x - 9) \]

2. Раскроем скобки: \[ 9x^2 - 3x = x^3 - 9x^2 \]

3. Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ x^3 - 9x^2 - 9x^2 + 3x = 0 \] Это упрощается до: \[ x^3 - 18x^2 + 3x = 0 \]

4. Вынесем общий множитель \( x \): \[ x(x^2 - 18x + 3) = 0 \]

5. Теперь мы имеем два случая: \( x = 0 \) или \( x^2 - 18x + 3 = 0 \). Первый случай даёт нам одно решение: \( x = 0 \).

6. Для второго случая используем формулу квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -18, c = 3 \).

   Таким образом, вычисляем: \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12}}{2} \] \[ = \frac{18 \pm \sqrt{312}}{2} \] \[ = \frac{18 \pm 2\sqrt{78}}{2} \] \[ = 9 \pm \sqrt{78} \]

7. Таким образом, у нас есть три решения для уравнения:

   1. \( x = 0 \)
   2. \( x = 9 + \sqrt{78} \)
   3. \( x = 9 - \sqrt{78} \)

Надеюсь, это поможет вам лучше понять процесс решения уравнений! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!