В треугольном прямоугольнике дана гипотенуза 15 сантиметров, угол A равен 60 градусам. Какая площадь у треугольника?
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, где известна длина гипотенузы и один из углов, можно воспользоваться следующими шагами.
В нашем случае длина гипотенузы \(c = 15\) см, угол \(A = 60^\circ\). Для начала нужно найти длины катетов. Обозначим катеты как \(a\) и \(b\).
Согласно тригонометрическим функциям:
Для катета, противолежащего углу \(A\) (в данном случае \(a\)): \[ a = c \cdot \sin(A) = 15 \cdot \sin(60^\circ) \]
Для катета, прилежащего к углу \(A\) (в данном случае \(b\)): \[ b = c \cdot \cos(A) = 15 \cdot \cos(60^\circ) \]
Значения тригонометрических функций для угла \(60^\circ\) известны:
- \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)
Теперь подставим эти значения в формулы для нахождения катетов: \[ a = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \] \[ b = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \]
Теперь мы можем найти площадь \(S\) треугольника, используя формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
Подставим найденные значения катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{15\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 7.5 \]
Выполним вычисления: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2} \cdot 7.5 = \frac{15 \cdot 7.5 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{112.5\sqrt{3}}{4} = 28.125\sqrt{3} \]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет \(28.125\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.
