Основные виды последовательности: составьте формулу n- го элемента и рекуррентную формулу

В математике существует несколько основных видов последовательностей. Ниже приведены некоторые из них вместе с их формулами для \(n\)-го элемента и рекуррентными формулами.

1. Арифметическая последовательность:

   • Формула \(n\)-го элемента: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] где \(a_1\) — первый элемент, \(d\) — разность.
   • Рекуррентная формула: \[ a_n = a_{n-1} + d, \; a_1 = a_1 \]

2. Геометрическая последовательность:

   • Формула \(n\)-го элемента: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} \] где \(a_1\) — первый элемент, \(q\) — знаменатель.
   • Рекуррентная формула: \[ a_n = a_{n-1} \cdot q, \; a_1 = a_1 \]

3. Фибоначчиевые последовательности:

   • Формула \(n\)-го элемента: \[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \; a_1 = 1, \; a_2 = 1 \]
   • Это же рекуррентная формула: \[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \; n \geq 3 \]

4. Квадратные последовательности (например, последовательность квадратов чисел):

   • Формула \(n\)-го элемента: \[ a_n = n^2 \]
   • Рекуррентная формула: \[ a_n = a_{n-1} + 2n - 1, \; a_1 = 1 \]

5. Кубические последовательности (например, последовательность кубов чисел):

   • Формула \(n\)-го элемента: \[ a_n = n^3 \]
   • Рекуррентная формула: \[ a_n = a_{n-1} + 3n^2 - 3n + 1, \; a_1 = 1 \]

Эти формулы и последовательности являются основами для понимания различных типов числовых последовательностей в математике.