J⁶+j¹⁶-j⁴⁵+j²⁰¹⁶

Чтобы решить выражение \( j^6 + j^{16} - j^{45} + j^{2016} \), где \( j \) - мнимая единица (\( j^2 = -1 \)), давайте сначала вспомним, как ведёт себя \( j \) при возведении в разные степени.

1. \( j^1 = j \)
2. \( j^2 = -1 \)
3. \( j^3 = j \cdot j^2 = j \cdot (-1) = -j \)
4. \( j^4 = j^2 \cdot j^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 \)

После \( j^4 \) значения будут повторяться с периодом 4:

• \( j^5 = j \)
• \( j^6 = -1 \)
• \( j^7 = -j \)
• \( j^8 = 1 \)

Теперь можем упростить каждое слагаемое, используя периодичность:

• \( j^6 = -1 \)
• \( j^{16} = (j^4)^4 = 1^4 = 1 \)
• Чтобы найти \( j^{45} \), заметим, что \( 45 \mod 4 = 1 \), значит \( j^{45} = j^1 = j \)
• Чтобы вычислить \( j^{2016} \), мы используем \( 2016 \mod 4 = 0 \), так что \( j^{2016} = j^0 = 1 \)

Теперь подставляем все значения в выражение:

\[ j^6 + j^{16} - j^{45} + j^{2016} = -1 + 1 - j + 1 \]

Упрощаем:

\[ -1 + 1 + 1 - j = 1 - j \]

Таким образом, итоговое выражение равно \( 1 - j \).