Cos²A-ctg²A/sin²A-tg²A

Давайте разберем выражение \(\frac{\cos^2 A - \cot^2 A}{\sin^2 A - \tan^2 A}\), чтобы облегчить его понимание.

1. Начнем с определения функций.

   • \(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}\)
   • \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)

2. Подставим эти определения в выражение: \[ \cot^2 A = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} \quad \text{и} \quad \tan^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] Теперь заменим \(\cot^2 A\) и \(\tan^2 A\) в исходном выражении.

3. Работа с числителем: \[ \cos^2 A - \cot^2 A = \cos^2 A - \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \cos^2 A \left(1 - \frac{1}{\sin^2 A}\right) = \cos^2 A \cdot \frac{\sin^2 A - 1}{\sin^2 A} \] Заметим, что \(\sin^2 A - 1 = -\cos^2 A\), поэтому: \[ \cos^2 A \cdot \frac{-\cos^2 A}{\sin^2 A} = -\frac{\cos^4 A}{\sin^2 A} \]

4. Работа с знаменателем: \[ \sin^2 A - \tan^2 A = \sin^2 A - \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \sin^2 A \left(1 - \frac{1}{\cos^2 A}\right) = \sin^2 A \cdot \frac{\cos^2 A - 1}{\cos^2 A} \] Здесь \(\cos^2 A - 1 = -\sin^2 A\), поэтому: \[ \sin^2 A \cdot \frac{-\sin^2 A}{\cos^2 A} = -\frac{\sin^4 A}{\cos^2 A} \]

5. Теперь можем написать всё выражение заново: \[ \frac{-\frac{\cos^4 A}{\sin^2 A}}{-\frac{\sin^4 A}{\cos^2 A}} = \frac{\cos^4 A}{\sin^2 A} \cdot \frac{\cos^2 A}{\sin^4 A} = \frac{\cos^6 A}{\sin^6 A} = \cot^6 A \]

Таким образом, упрощённое выражение \(\frac{\cos^2 A - \cot^2 A}{\sin^2 A - \tan^2 A}\) равно \(\cot^6 A\). Если у вас есть еще вопросы или вам нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!