3. Какова вероятность того, что при 10 последовательных бросаниях монеты: а) случится ровно 4 орла; б) случится не более 5 орлов?

Чтобы рассчитать вероятность получения определенного количества орлов при последовательных бросках монеты, мы можем использовать биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности получения ровно \( k \) успехов (орлов) из \( n \) испытаний (бросков) выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), которое вычисляется по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, вероятность получить орла при одном броске = 0.5),
• \( n \) — общее количество попыток (бросков),
• \( k \) — количество успехов (орлов).

а) Вероятность того, что при 10 бросках случится ровно 4 орла.

Подставим значения в формулу:

• \( n = 10 \)
• \( k = 4 \)
• \( p = 0.5 \)

1. Находим число сочетаний:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

2. Подставляем в формулу:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{10-4} = 210 \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.205 \]

Следовательно, вероятность того, что при 10 бросках монеты получится ровно 4 орла, составляет примерно 0.205, или 20.5%.

б) Вероятность того, что при 10 бросках случится не более 5 орлов.

Для этого мы считаем вероятность события \( X \leq 5 \), то есть складываем вероятности для \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \):

\[ P(X \leq 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]

Каждая из этих вероятностей будет рассчитываться по той же формуле, как и выше.

Для упрощения расчетов, можно воспользоваться симметрией биномиального распределения:

\[ P(X \leq 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - P(X = 6) - P(X = 7) - P(X = 8) - P(X = 9) - P(X = 10) \]

Однако для каждого \( k \) от 0 до 5, подсчитаем вероятности отдельно:

1. \( P(X = 0) = C(10, 0) \cdot (0.5)^{10} = 1 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.00098 \)
2. \( P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.5)^{10} = 10 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.00977 \)
3. \( P(X = 2) = C(10, 2) \cdot (0.5)^{10} = 45 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.04395 \)
4. \( P(X = 3) = C(10, 3) \cdot (0.5)^{10} = 120 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.11719 \)
5. \( P(X = 4) \) уже рассчитана: \( \approx 0.20508 \)
6. \( P(X = 5) = C(10, 5) \cdot (0.5)^{10} = 252 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.24609 \)

Теперь складываем:

\[ P(X \leq 5) \approx 0.00098 + 0.00977 + 0.04395 + 0.11719 + 0.20508 + 0.24609 \approx 0.62306 \]

Таким образом, вероятность того, что при 10 бросках монеты получится не более 5 орлов, составляет примерно 0.623, или 62.3%.