Исследуйте функцию на монотонность, точки экстремума 1 y=4-x2 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке y = x² + 2x2 + x + 3 на отрезке [-4; -1]…

Конечно! Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Исследование функции на монотонность и точки экстремума функции \( y = 4 - x^2 \)

Чтобы исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума, следуем следующему алгоритму:

1. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(4 - x^2) = -2x \]

2. Найдем критические точки: Критические точки возникают, когда производная равна нулю или не определена: \[ -2x = 0 \implies x = 0 \]

3. Определим знак производной:

   • Для \( x < 0 \): \( y' > 0 \) (функция возрастает).
   • Для \( x > 0 \): \( y' < 0 \) (функция убывает).

Таким образом, функция имеет максимум в точке \( x = 0 \).

4. Найдем значение функции в критической точке: \[ y(0) = 4 - 0^2 = 4 \]

Итак, функция \( y = 4 - x^2 \) имеет максимум в точке \( (0, 4) \) и является убывающей для \( x > 0 \) и возрастающей для \( x < 0 \).

2. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^2 + 2x^2 + x + 3 \) на отрезке \([-4; -1]\)

Прежде всего, упростим функцию: \[ y = 3x^2 + x + 3 \]

1. Найдем производную: \[ y' = 6x + 1 \]

2. Найдем критические точки: Установим производную равной нулю: \[ 6x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{6} \]

   Однако эта точка находится вне рассматриваемого отрезка \([-4, -1]\).

3. Проверим концы отрезка:

   • \( y(-4) = 3(-4)^2 + (-4) + 3 = 48 - 4 + 3 = 47 \)
   • \( y(-1) = 3(-1)^2 + (-1) + 3 = 3 - 1 + 3 = 5 \)

Вывод: наименьшее значение \( y \) равно 5, а наибольшее 47 на отрезке \([-4; -1]\).

3. Представим число 18 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на удвоенное второе было наибольшим

Обозначим слагаемые как \( x \) и \( y \), где \( x + y = 18 \). Нам нужно максимизировать: \[ P = x^2 \cdot 2y = 2x^2 (18 - x) = 36x^2 - 2x^3 \]

1. Найдем производную и установим равной нулю: \[ P' = 72x - 6x^2 \] Установим \( P' = 0 \): \[ 6x(12 - x) = 0 \] Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 12 \).

2. Проверим значение в критических точках:

   • Если \( x = 0 \), то \( y = 18 \): \( P = 0 \).
   • Если \( x = 12 \), то \( y = 6 \): \( P = 12^2 \cdot 2 \cdot 6 = 288 \).

Таким образом, наибольшее значение достигается при \( x = 12 \) и \( y = 6 \) с \( P = 288 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!