|х|+|х+2|=2

Решим уравнение \(|x| + |x + 2| = 2\). Для этого рассмотрим разные случаи в зависимости от значений \(x\), так как модуль — это piecewise-функция.

1. Случай 1: \(x \geq 0\)
   В этом случае \(|x| = x\) и \(|x + 2| = x + 2\). Подставим это в уравнение: \[ x + (x + 2) = 2 \implies 2x + 2 = 2 \implies 2x = 0 \implies x = 0 \] Проверим: \(|0| + |0 + 2| = 0 + 2 = 2\). Это решение подходит.

2. Случай 2: \(-2 \leq x < 0\)
   В этом случае \(|x| = -x\) и \(|x + 2| = x + 2\). Подставим это в уравнение: \[ -x + (x + 2) = 2 \implies -x + x + 2 = 2 \implies 2 = 2 \] Это справедливое равенство, значит любое значение \(x\) из этого интервала является решением. Так что все \(x\) в диапазоне \([-2, 0]\) подойдут.

3. Случай 3: \(x < -2\)
   Здесь \(|x| = -x\) и \(|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2\). Подставим это в уравнение: \[ -x + (-x - 2) = 2 \implies -2x - 2 = 2 \implies -2x = 4 \implies x = -2 \] Проверим: \(|-2| + |-2 + 2| = 2 + 0 = 2\). Это решение также подходит, так как \(-2\) включается в предыдущую категорию.

Теперь подытожим все найденные решения:

• \(x = 0\)
• Все \(x\) такие, что \(-2 \leq x < 0\)
• \(x = -2\)

Таким образом, общее решение уравнения: \[ x \in [-2, 0]. \]