((x-2) ^2×(x+3))/(x-3)<0
Чтобы решить неравенство \(\frac{(x-2)^2 \cdot (x+3)}{(x-3)} < 0\), следуем этим шагам:
Определим области, где выражение может изменять знак.
Сначала найдем, при каких значениях \(x\) числитель и знаменатель равны нулю.
Числитель \((x-2)^2 \cdot (x+3) = 0\):
- \( (x-2)^2 = 0 \) при \(x = 2\) (кратность 2, т.е. значение не меняет знак).
- \( x+3 = 0 \) при \(x = -3\) (кратность 1, т.е. значение меняет знак).
Знаменатель \(x - 3 = 0\) при \(x = 3\) (разделитель, не может принимать это значение).
Определяем интервалы.
Исходя из найденных значений, у нас есть следующие критические точки:
- \(-3\)
- \(2\)
- \(3\)
Таким образом, делим действительную ось на интервалы: \((- \infty, -3)\), \((-3, 2)\), \((2, 3)\), и \((3, +\infty)\).
Тестируем знаки в каждом интервале.
Интервал \((- \infty, -3)\): выберем \(x = -4\): \[ \frac{((-4 - 2)^2) \cdot (-4 + 3)}{(-4 - 3)} = \frac{(36) \cdot (-1)}{(-7)} > 0 \]
Интервал \((-3, 2)\): выберем \(x = 0\): \[ \frac{(0 - 2)^2 \cdot (0 + 3)}{(0 - 3)} = \frac{(4) \cdot (3)}{(-3)} < 0 \]
Интервал \((2, 3)\): выберем \(x = 2.5\): \[ \frac{(2.5 - 2)^2 \cdot (2.5 + 3)}{(2.5 - 3)} = \frac{(0.25) \cdot (5.5)}{(-0.5)} < 0 \]
Интервал \((3, +\infty)\): выберем \(x = 4\): \[ \frac{(4 - 2)^2 \cdot (4 + 3)}{(4 - 3)} = \frac{(4) \cdot (7)}{(1)} > 0 \]
Результаты и заключение.
Выражение меньше нуля в интервалах:
- \((-3, 2)\)
- \((2, 3)\)
Таким образом, величина \(x\) должна находиться в следующих интервалах: \((-3, 2) \cup (2, 3)\).
Параметры, при которых разность отрицательна — это итоговое решение неравенства.
