Одноатомный идеальный газ, взятый в количестве 2 моль, при температуре 200 К изохорно перевели в состояние, в котором давление в два раза больше первона-чального, а затем изобарно — в состояние, в котором объём в два раза больше перво-начального. Определите изменение внутренней энергии газа.

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии связано с его температурой и определяется по формуле: \[ \Delta U = n \cdot C_v \cdot \Delta T \] где \( C_v = \frac{3}{2}R \) — теплоемкость при постоянном объеме для одноатомного газа, \( n \) — количество моль газа, \( R \) — универсальная газовая постоянная (примерно 8.314 Дж/(моль·К)), а \( \Delta T \) — изменение температуры. 1. Исходное состояние газа: - \( n = 2 \) моль - \( T_1 = 200 \) К 2. Первое изменение состояния: газ изохорно (при постоянном объеме) переводят в состояние, где давление удвоилось: - Пусть начальное давление \( P_1 \), тогда конечное давление \( P_2 = 2P_1 \). - Для изотермического процесса (изохорного) отношение давления и температуры описывается законом Бойля-Мариотта: \[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \implies T_2 = 2T_1 = 2 \cdot 200 \, {\text{К}} = 400 \, {\text{К}}. \] 3. У нас теперь два состояния: - Начальное состояние: \( T_1 = 200 \, К \), \( V \), \( P_1 \) - Конечное состояние после изохорного процесса: \( T_2 = 400 \, К \), \( V \), \( P_2 = 2P_1 \) 4. Второе изменение состояния: газ изобарно (при постоянном давлении) переводят в состояние, где объем удвоился: - Так как давление остается постоянным, при удвоении объема изменяется температура: \[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies T_3 = 2T_2 = 2 \cdot 400 \, {\text{К}} = 800 \, {\text{К}}. \] 5. Теперь у нас есть начальное и конечное состояния: - Начальное состояние: \( T_2 = 400 \, К \) - Конечное состояние: \( T_3 = 800 \, К \) 6. Теперь найдем изменение температуры: \[ \Delta T = T_3 - T_2 = 800 \, {\text{К}} - 400 \, {\text{К}} = 400 \, {\text{К}}. \] 7. Подставим значения в формулу изменения внутренней энергии: \[ \Delta U = n \cdot C_v \cdot \Delta T = 2 \cdot \frac{3}{2}R \cdot 400. \] Подставим значение \( R = 8.314 \, {\text{Дж/(моль·К)}} \): \[ \Delta U = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.314 \cdot 400 = 3 \cdot 8.314 \cdot 400. \] \[ \Delta U = 3 \cdot 8.314 \cdot 400 \approx 9980.8 \, \text{Дж}. \] Таким образом, изменение внутренней энергии газа составляет aproximadamente 9980.8 Дж.