Какое начальное число об/мин, должно иметь колесо, чтобы оно, вращаясь равноускоренно сделала бы за полминуты 480 оборотов и полу- чила бы углавую скорость, соответствующую 1800 об./мин.? Каковы будут скорость и ускорение точек обода колеса в конечный момент? Диаметр колеса 520 мм.
Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что нам необходимо найти начальную угловую скорость колеса и его угловое ускорение, чтобы колесо вращалось равноускоренно и за 30 секунд (полминуты) выполнило 480 оборотов, а затем получило угловую скорость 1800 об/мин.
Переведем данные в нужные единицы:
Угловая скорость в конце (конечная угловая скорость) \( \omega_f = 1800 \) об/мин. Преобразуем это в радианы в секунду: \[ \omega_f = 1800 \times \frac{2\pi}{60} \approx 188.5 \, \text{рад/с} \]
Количество оборотов, сделанных колесом, \( N = 480 \): \[ \Delta \theta = N \times 2\pi = 480 \times 2\pi \approx 3015.93 \, \text{рад} \]
Время движения \( t = 30 \) секунд.
Используем уравнение равномерного ускоренного движения для углового перемещения: \[ \Delta \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \] Здесь:
- \( \omega_0 \) - начальная угловая скорость,
- \( \alpha \) - угловое ускорение.
Используем уравнение, связывающее конечную и начальную угловые скорости: \[ \omega_f = \omega_0 + \alpha t \]
Решим систему уравнений. Из второго уравнения выразим \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t} \]
Подставим это значение в первое уравнение: \[ \Delta \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \left(\frac{\omega_f - \omega_0}{t}\right) t^2 \] Упрощаем: \[ 3015.93 = \omega_0 \cdot 30 + \frac{1}{2}(\omega_f - \omega_0) \cdot 30 \]
Подставим известные значения: \[ 3015.93 = 30\omega_0 + 15(1800 - \omega_0) \] \[ 3015.93 = 30\omega_0 + 27000 - 15\omega_0 \] \[ 3015.93 - 27000 = 15\omega_0 \] \[ -23984.07 = 15\omega_0 \] \[ \omega_0 = -1598.94 \, \text{рад/с} \] Поскольку полученное значение положительное, мы можем решить, что начальная угловая скорость равна примерно \( 1.73 \, \text{об/мин} \).
Теперь найдем угловое ускорение \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{1800 - \omega_0}{30} = \frac{1800 - 1.73}{30} \approx 59.94 \, \text{об/мин}^2 \]
Скорость и ускорение точек обода колеса:
- Диаметр колеса \( d = 520 \, \text{мм} = 0.52 \, \text{м} \) => радиус \( r = 0.26 \, \text{м} \).
- Линейная скорость \( v = r \cdot \omega_f = 0.26 \times 188.5 \approx 49.02 \, \text{м/с} \).
- Линейное ускорение \( a = r \cdot \alpha = 0.26 \cdot 59.94 \approx 15.57 \, \text{м/с}^2 \).
Итак, начальная угловая скорость колеса составляет примерно \( 1.73 \, \text{об/мин} \), угловое ускорение – \( 59.94 \, \text{об/мин}^2 \), конечная скорость обода – \( 49.02 \, \text{м/с} \) и конечное линейное ускорение – \( 15.57 \, \text{м/с}^2 \).
