В треугольнике D F R DFR провели прямую, параллельную стороне F R FR так, что она пересекает стороны D F DF и D R DR в точках S S и Q Q, соответственно. Найди длину стороны D F DF и площадь треугольника D F R DFR, если площадь треугольника D S Q DSQ равна 42 42 см 2 2 , S Q = 7 SQ=7 см, D S = 15 DS=15 см, F R = 14 FR=14 см..
Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что у нас есть треугольник \( \triangle DFR \) и прямая, параллельная стороне \( FR \), которая пересекает стороны \( DF \) и \( DR \) в точках \( S \) и \( Q \), соответственно.
Поскольку прямая, проходящая через точки \( S \) и \( Q \), параллельна стороне \( FR \), то по свойству подобия треугольников, треугольник \( \triangle DSQ \) подобен треугольнику \( \triangle DFR \).
Формула для площади двух подобны треугольников: \[ \frac{S_{DSQ}}{S_{DFR}} = \left(\frac{DQ}{DF}\right)^2 \]
где \( S_{DSQ} = 42 \) см\(^2\), а нам нужно найти \( S_{DFR} \) и \( DF \).
Сначала найдем отношение сторон, используя данные о длинах отрезков:
Дано:
- \( SQ = 7 \) см
- \( DS = 15 \) см
Зная, что \( S_{DFR} \) можно выразить через \( S_{DSQ} \): \[ \frac{42}{S_{DFR}} = \left(\frac{SQ}{FR}\right)^2 \]
Где \( FR = 14 \) см, подставим данные: \[ \frac{42}{S_{DFR}} = \left(\frac{7}{14}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
Теперь найдем \( S_{DFR} \): \[ S_{DFR} = 42 \times 4 = 168 \, \text{см}^2 \]
Теперь воспользуемся подобием треугольников чтобы найти длину стороны \( DF \): Из подобия треугольников у нас: \[ \frac{DS}{DF} = \frac{S_{DSQ}}{S_{DFR}} = \frac{42}{168} = \frac{1}{4} \]
Поскольку \( DS = 15 \) см: \[ \frac{15}{DF} = \frac{1}{4} \]
Решим это уравнение относительно \( DF \): \[ DF = 15 \times 4 = 60 \, \text{см} \]
Таким образом, длина стороны \( DF \) равна \( 60 \) см, а площадь треугольника \( DFR \) равна \( 168 \) см\(^2\).
Итак, окончательные ответы:
- Длина стороны \( DF = 60 \) см
- Площадь треугольника \( DFR = 168 \, \text{см}^2 \)
