Какое наименьшее двузначное натуральное число при деление 13 дает остаток 5 Б)какое наибольшее двузначное натуральное число при деление 24 дает остаток равный 9 2) С конечной остановки выезжают про тем маршрутам автобусы. Первый возрощается каждые 9 мин второй каждый 15 мин третий каждый 12 мин через наименьшее время они снова окажутся вместе на конечной остоновки

1. Чтобы найти наименьшее двузначное натуральное число, при делении 13 на которое дается остаток 5, запишем уравнение:

\( x \equiv 5 \mod 13 \)

Это означает, что:

\( x = 13k + 5 \)

где \( k \) - это целое неотрицательное число, а \( x \) - двузначное число.

Нам нужно, чтобы \( x \) было больше или равно 10 и меньше 100.

Для поиска наименьшего двузначного числа:

\( 13k + 5 \geq 10 \)

\( 13k \geq 5 \)

\( k \geq \frac{5}{13} \)

Поскольку \( k \) - целое число, минимальным значением будет 1 (т.к. 0 не даст двузначного числа).

Подставим \( k = 1 \):

\( x = 13 \cdot 1 + 5 = 18 \) (вторую проверку мы можем не делать, поскольку 18 - двузначное).

Теперь проверим \( k = 2 \): \( x = 13 \cdot 2 + 5 = 31 \)

Таким образом, наименьшее двузначное натуральное число, при делении на 13 дает остаток 5 — это 18.

Б) Теперь найдем наибольшее двузначное натуральное число, при делении на 24, которое дает остаток 9:

\( y \equiv 9 \mod 24 \)

Это означает, что:

\( y = 24m + 9 \)

где \( m \) - целое неотрицательное число.

Чтобы найти наибольшее двузначное число:

\( 24m + 9 < 100 \)

Решим неравенство:

\( 24m < 91 \)

\( m < \frac{91}{24} \)

Находим целочисленное значение \( m \). Поскольку \( \frac{91}{24} \approx 3.79 \), максимальное значение \( m = 3 \):

Теперь подставим \( m = 3 \):

\( y = 24 \cdot 3 + 9 = 81 \)

Таким образом, наибольшее двузначное натуральное число, при делении на 24 дает остаток 9 — это 81.

2. Для нахождения наименьшего времени, когда все три автобуса вновь встретятся на конечной остановке, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их интервалов: 9 минут, 15 минут и 12 минут.

Найдем НОК:

• Разложим каждое число на делители:
  • \( 9 = 3^2 \)
  • \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)
  • \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)

Теперь берем максимальные степени всех простых чисел:

• \( 2^2 \) (от 12)
• \( 3^2 \) (от 9)
• \( 5^1 \) (от 15)

Теперь произведем их:

\( НОК = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \)

Таким образом, через наименьшее время, все три автобуса вновь окажутся вместе на конечной остановке через 180 минут.