в момент времени t=1 найдите скорость и ускорение точки, движущегося по закону: s(t)=sin(πt/4)
Чтобы найти скорость и ускорение точки, движущейся по закону \( s(t) = \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) \), необходимо выполнить следующие шаги.
- Найдем скорость точки \( v(t) \). Скорость – это производная положения по времени. То есть:
\[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)\right) \]
Используя правило производной синуса, получаем:
\[ v(t) = \cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4} \]
- Теперь подставим \( t = 1 \) для нахождения скорости в этот момент времени:
\[ v(1) = \cos\left(\frac{\pi \cdot 1}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4} \]
Зная, что \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:
\[ v(1) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} \]
- Теперь найдем ускорение точки \( a(t) \). Ускорение – это производная скорости по времени:
\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4}\right) \]
Используя правило производной косинуса, получаем:
\[ a(t) = -\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = -\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) \cdot \frac{\pi^2}{16} \]
- Подставим \( t = 1 \) для нахождения ускорения:
\[ a(1) = -\sin\left(\frac{\pi \cdot 1}{4}\right) \cdot \frac{\pi^2}{16} = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\pi^2}{16} \]
Зная, что \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:
\[ a(1) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = -\frac{\pi^2\sqrt{2}}{32} \]
Таким образом, в момент времени \( t = 1 \):
- Скорость \( v(1) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} \)
- Ускорение \( a(1) = -\frac{\pi^2\sqrt{2}}{32} \)
Надеюсь, это объяснение было ясным и полезным! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.
