вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями:y=x²+3;y=0;x=1;x=2
Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 3 \), \( y = 0 \), \( x = 1 \) и \( x = 2 \), необходимо найти интеграл функции от 1 до 2.
Сначала найдем точки пересечения функции \( y = x^2 + 3 \) и оси \( y = 0 \). Эта функция не пересекает ось \( y \), так как \( x^2 + 3 \) всегда положительно для всех значений \( x \).
Затем мы можем выразить площадь как интеграл от функции \( y = x^2 + 3 \) с верхней границей 2 и нижней границей 1:
\[ S = \int_{1}^{2} (x^2 + 3) \, dx \]
- Вычисляем интеграл:
\[ S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx + \int_{1}^{2} 3 \, dx \]
- Для первого интеграла:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \]
Подставим границы 1 и 2:
\[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]
- Для второго интеграла:
\[ \int 3 \, dx = 3x \]
Подставим границы 1 и 2:
\[ \left[ 3x \right]_{1}^{2} = 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3 \]
- Теперь сложим результаты:
\[ S = \frac{7}{3} + 3 = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \( \frac{16}{3} \) единиц площади.
