Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно,…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) и \( b \) - его цифры. По условию, вторая цифра на 1 меньше первой: \( b = a - 1 \).

Тогда мы можем выразить задуманное число как: \[ 10a + b = 10a + (a - 1) = 11a - 1 \]

Теперь, если переставим цифры, получим новое число \( 10b + a \): \[ 10b + a = 10(a - 1) + a = 10a - 10 + a = 11a - 10 \]

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 585: \[ (11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585 \]

Теперь раскроем скобки: \[ (11a - 1)^2 = 121a^2 - 22a + 1 \] \[ (11a - 10)^2 = 121a^2 - 220a + 100 \]

Теперь складываем оба выражения: \[ (121a^2 - 22a + 1) + (121a^2 - 220a + 100) = 585 \] \[ 242a^2 - 242a + 101 = 585 \]

Теперь перенесем 585 в левую часть: \[ 242a^2 - 242a + 101 - 585 = 0 \] \[ 242a^2 - 242a - 484 = 0 \]

Упростим уравнение, поделив все члены на 242: \[ a^2 - a - 2 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Теперь найдем корни: \[ a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Это даёт два решения: \[ a_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad и \quad a_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] Поскольку \( a \) должно быть положительной цифрой от 1 до 9, берём \( a = 2 \).

Теперь, подставив значение \( a \) в \( b = a - 1 \), получаем: \[ b = 2 - 1 = 1 \]

Таким образом, задуманное двузначное число: \[ 10a + b = 10 \cdot 2 + 1 = 21 \]

Проверим, действительно ли сумма квадратов чисел равна 585: Задуманное число: 21, переставленное - 12. \[ 21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585 \]

Это подтверждает решение. Следовательно, задуманное число — это 21.