Определи, в какой координатной четверти находится точка пересечения линейных уравнений 2 y − 3 x = 5 2y−3x=5 и 7 y − 2 x = 9 7y−2x=9 .
Чтобы определить, в какой координатной четверти находится точка пересечения линейных уравнений \(2y - 3x = 5\) и \(7y - 2x = 9\), нужно сначала найти координаты этой точки, решив систему уравнений.
Преобразуем первое уравнение \(2y - 3x = 5\) в стандартный вид. Выразим \(y\): \[ 2y = 3x + 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \]
Теперь преобразуем второе уравнение \(7y - 2x = 9\): \[ 7y = 2x + 9 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{7}x + \frac{9}{7} \]
Теперь мы имеем два уравнения: \[ y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \] \[ y = \frac{2}{7}x + \frac{9}{7} \]
Приравняем правые части уравнений для нахождения \(x\): \[ \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} = \frac{2}{7}x + \frac{9}{7} \]
Умножим всё уравнение на 14 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 7), чтобы избавиться от дробей: \[ 14 \cdot \left(\frac{3}{2}x\right) + 14 \cdot \left(\frac{5}{2}\right) = 14 \cdot \left(\frac{2}{7}x\right) + 14 \cdot \left(\frac{9}{7}\right) \] \[ 21x + 35 = 4x + 18 \]
Переносим все \(x\) в одну сторону и все числа в другую: \[ 21x - 4x = 18 - 35 \] \[ 17x = -17 \] \[ x = -1 \]
Теперь подставим \(x = -1\) в одно из уравнений для нахождения \(y\). Используем первое уравнение: \[ 2y - 3(-1) = 5 \quad \Rightarrow \quad 2y + 3 = 5 \] \[ 2y = 5 - 3 \quad \Rightarrow \quad 2y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \]
Итак, координаты точки пересечения: \( (-1, 1) \).
Теперь определим, в какой четверти находится эта точка.
- Первая координатная четверть: \(x > 0, y > 0\) (всё положительно)
- Вторая координатная четверть: \(x < 0, y > 0\) (отрицательный x и положительный y)
- Третья координатная четверть: \(x < 0, y < 0\) (всё отрицательно)
- Четвертая координатная четверть: \(x > 0, y < 0\) (положительный x и отрицательный y)
Поскольку \(x = -1 < 0\) и \(y = 1 > 0\), точка \((-1, 1)\) находится во второй координатной четверти.
