Две стороны треугольника: 8 и 13. Медиана, проведенная к третьей стороне равна: √105/2. Найдите третью сторону треугольника.
Давайте решим задачу о нахождении третьей стороны треугольника, зная две стороны и длину медианы, проведенной к третьей стороне.
Обозначим:
- \( a = 8 \) — одна сторона,
- \( b = 13 \) — вторая сторона,
- \( c \) — третья сторона, которую нам нужно найти,
- \( m_c = \frac{\sqrt{105}}{2} \) — длина медианы к стороне \( c \).
Медиана, проведенная к стороне \( c \), может быть найдена по формуле:
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]
Подставим известные значения в эту формулу:
\[ \frac{\sqrt{105}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 13^2 - c^2} \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ \sqrt{105} = \sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 13^2 - c^2} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ 105 = 2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 13^2 - c^2 \]
Посчитаем \( 8^2 \) и \( 13^2 \):
\[ 8^2 = 64, \quad 13^2 = 169 \]
Теперь подставим значения:
\[ 105 = 2 \cdot 64 + 2 \cdot 169 - c^2 \] \[ 105 = 128 + 338 - c^2 \] \[ 105 = 466 - c^2 \]
Переносим \( c^2 \) на одну сторону и 105 на другую:
\[ c^2 = 466 - 105 \] \[ c^2 = 361 \]
Теперь найдём \( c \):
\[ c = \sqrt{361} = 19 \]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \( 19 \).
