В правильной пирамиде SABC AB = BC = AC =84, AS = BS = CS -=72 M SC K € AB. SM MC = AK KB = 4:3 Плоскость содержит прямую MК и параллельна прямой SA a) Докажи, что сечение…

Давайте разберемся с поставленной задачей. Мы имеем правильную пирамиду SABC, в которой стороны основания (треугольник ABC) равны, и также равны высоты для вершин A, B и C относительно основания. Вам необходимо доказать, что сечение пирамиды плоскостью α будет прямоугольником, а затем найти объем пирамиды, вершиной которой является A, основанием которой служит это сечение.

a) Доказательство, что сечение пирамиды SABC плоскостью α - прямоугольник.

1. Параллельность плоскостей: Поскольку плоскость α содержит прямую MK и параллельна SA, следует, что любые линии, проведенные в этой плоскости, будут также параллельны соответствующим линиям в пирамиде.

2. Сечение пирамиды: Когда плоскость α пересекает пирамиду SABC, она будет пересекать все боковые ребра (SA, SB, SC) и основание (ABC). Поскольку плоскость α параллельна SA, углы, образуемые сечением с боковыми гранями (SA, SB и SC) будут прямыми, а значит, образовывать прямые углы.

3. Форма сечения: Из-за равенства сторон основания и равенства высот вершин над основанием, полученные пересечения будут равны двух другим и образуют прямоугольник.

Таким образом, все углы в сечении являются прямыми, а противоположные стороны равны, что и доказывает, что сечение будет прямоугольником.

b) Найдем объем пирамиды с вершиной A и основанием, которое является сечением SAВC плоскостью α.

1. Формула объема пирамиды: Объем \(V\) пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \] где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды.

2. Площадь основания: Поскольку основанием нашей новой пирамиды является сечение, полученное сечением правильной пирамиды, и оно является прямоугольником с равными сторонами. Рассчитаем его площадь. Для определения длины сторон сечения используем пропорции \(SM\) и \(MC\), где они делятся в отношении 4:3, так что общий отрезок делится на 7 частей:

   • \(SM = \frac{4}{7}(AB)\)
   • \(MC = \frac{3}{7}(AB)\)

   Подставляя \(AB = 84\):

   • \(SM = \frac{4}{7} \cdot 84 = 48\)
   • \(MC = \frac{3}{7} \cdot 84 = 36\)

   Теперь площадь основания: \[ S = SM \cdot MC = 48 \cdot 36 = 1728 \]

3. Высота: Высота \(h\) пирамиды будет равна расстоянию от точки A до плоскости α. Учитывая, что высота SA равна 72 (высота правильной пирамиды), h будет равно 72.

4. Объем пирамиды: Подставим данные в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 1728 \cdot 72 \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot 124416 = 41472 \]

Таким образом, объем пирамиды с вершиной A и основанием, равным сечению, составляет 41472 кубических единиц.