x+3/x-6 <2
Чтобы решить неравенство \( \frac{x + 3}{x - 6} < 2 \), давайте начнем с преобразования данного выражения.
Переносим 2 на левую сторону: \[ \frac{x + 3}{x - 6} - 2 < 0 \]
Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{x + 3 - 2(x - 6)}{x - 6} < 0 \]
Упрощаем числитель: \[ x + 3 - 2x + 12 = -x + 15 \] Таким образом, у нас получается: \[ \frac{-x + 15}{x - 6} < 0 \]
Чтобы упростить решение, можно также переписать так: \[ \frac{15 - x}{x - 6} < 0 \]
Теперь определим точки, где функция равна нулю или неопределена:
Числитель равен нулю: \( 15 - x = 0 \) \[ x = 15 \]
Знаменатель равен нулю: \( x - 6 = 0 \) \[ x = 6 \]
Теперь у нас есть два критических значения: \( x = 6 \) и \( x = 15 \). Эти значения делят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, 6) \)
- \( (6, 15) \)
- \( (15, +\infty) \)
Теперь проверим знак выражения \( \frac{15 - x}{x - 6} \) в каждом интервале:
Для \( x < 6 \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{15 - 0}{0 - 6} = \frac{15}{-6} < 0 \quad \text{(отрицательно)} \]
Для \( 6 < x < 15 \) (например, \( x = 10 \)): \[ \frac{15 - 10}{10 - 6} = \frac{5}{4} > 0 \quad \text{(положительно)} \]
Для \( x > 15 \) (например, \( x = 20 \)): \[ \frac{15 - 20}{20 - 6} = \frac{-5}{14} < 0 \quad \text{(отрицательно)} \]
Теперь, учитывая, что мы ищем, где выражение меньше нуля, получаем:
- Отрицательно в интервалах \( (-\infty, 6) \) и \( (15, +\infty) \).
Помимо этого, мы должны учесть, что в точке \( x = 6 \) функция неопределена, а в точке \( x = 15 \) выражение равно нулю. Таким образом, решением неравенства будет:
\[ x \in (-\infty, 6) \cup (15, +\infty) \]
Это окончательное решение! Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
