Постройте график функции y=x² 2x-|x²-9|-8 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки
Для построения графика функции \( y = x^2 + 2x - |x^2 - 9| - 8 \) и определения, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки, выполним следующие шаги.
Разложим функцию: Нам нужно рассмотреть абсолютную величину \( |x^2 - 9| \). Она может быть представлена в виде двух случаев:
- \( x^2 - 9 \geq 0 \) (т.е. \( x \leq -3 \) или \( x \geq 3 \)): в этом случае \( |x^2 - 9| = x^2 - 9 \)
- \( x^2 - 9 < 0 \) (т.е. \( -3 < x < 3 \)): в этом случае \( |x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2 \)
Случай 1: \( x \leq -3 \) и \( x \geq 3 \). В этом случае: \[ y = x^2 + 2x - (x^2 - 9) - 8 = 2x + 1 \]
Случай 2: \( -3 < x < 3 \). В этом случае: \[ y = x^2 + 2x - (9 - x^2) - 8 = 2x^2 + 2x - 1 \]
Построение графика: Мы получаем две функции:
- Линейная: \( y = 2x + 1 \) для \( x \leq -3 \) и \( x \geq 3 \)
- Парабола: \( y = 2x^2 + 2x - 1 \) для \( -3 < x < 3 \)
Определение значений \( m \): Чтобы прямая \( y = m \) пересекала график функции в точно трех точках, она должна пересекаться с параболой в двух точках и с линейной функцией в одной точке.
Для параболы \( y = 2x^2 + 2x - 1 \) находим её экстремум, используя производную: \[ \frac{dy}{dx} = 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Вычисляем значение функции в этой точке: \[ y\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = -2 \]
Парабола открывается вверх, поэтому минимальное значение параболы равно \(-2\). Чтобы прямая имела три точки пересечения, значение \( m \) должно быть равно \(-2\) или выше. Однако, так как прямая будет доходить до \(-2\), она будет касаться параболы в одной точке и проходить через линейную часть.
Таким образом, прямая \( y = m \) имеет ровно три общие точки, если \[ m = -2 \]
Но также для других значений \( m > -2 \) основное условие будет касание параболы и пересекание с линейной функцией при \( x \geq 3 \) или \( x \leq -3 \).
Таким образом, ответ на вопрос: прямая \( y = m \) имеет ровно три общие точки с графиком, если \( m \geq -2 \).
