Через какое время от начала движения точка, которая выполняет гармонические колебания, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с, начальная фаза φ0 = 0.
Чтобы определить, через какое время точка, выполняющая гармонические колебания, сместится от положения равновесия на половину амплитуды, можно использовать уравнение гармонического осциллятора.
Уравнение для смещения точки в гармонических колебаниях выглядит следующим образом:
\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \]
где:
- \( A \) — амплитуда колебаний,
- \( \omega \) — угловая частота,
- \( t \) — время,
- \( \phi_0 \) — начальная фаза.
Угловую частоту \( \omega \) можно выразить через период \( T \):
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]
Подставляя период \( T = 24 \) с, получаем:
\[ \omega = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \text{ рад/c} \]
Теперь нам нужно узнать, через какое время точка сместится на половину амплитуды, то есть \( x(t) = \frac{A}{2} \).
Подставим это значение в уравнение:
\[ \frac{A}{2} = A \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} t\right) \]
Делим обе стороны на \( A \) (при условии, что \( A \neq 0 \)):
\[ \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{12} t\right) \]
Теперь мы можем найти значение \( t \) с помощью арккосинуса:
\[ \frac{\pi}{12} t = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \]
Значение \( \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \) равно \( \frac{\pi}{3} \) (так как косинус равен \( \frac{1}{2} \) на угле \( 60^\circ \) или \( \frac{\pi}{3} \) радиан).
Теперь подставим обратно:
\[ \frac{\pi}{12} t = \frac{\pi}{3} \]
Убираем \( \pi \) с обеих сторон:
\[ \frac{1}{12} t = \frac{1}{3} \]
Умножаем на 12:
\[ t = 12 \text{ секунд} \]
Таким образом, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды через 12 секунд.
