Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, можно использовать закон косинусов и формулу Герона. У нас есть две стороны треугольника \( a = 10 \) см, \( b = 12 \) см и угол между ними \( \gamma = 120^\circ \).

Шаг 1: Находим третью сторону \( c \) с помощью закона косинусов.

Формула закона косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

Подставим известные значения: \[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ) \]

Значение \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \). Теперь можно заменить его в формуле: \[ c^2 = 100 + 144 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ c^2 = 100 + 144 + 120 \] \[ c^2 = 364 \] \[ c = \sqrt{364} \approx 19.1 \text{ см} \]

Шаг 2: Находим площадь треугольника.

Площадь \( S \) треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \]

Так как \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 15\sqrt{3} \approx 25.98 \text{ см}^2 \]

Итак, третья сторона треугольника равна примерно 19.1 см, а площадь составляет примерно 25.98 см².