В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB=26 и высота AH=24. Найдите cos(∠BAC).

В треугольнике ABC, где AC = BC, мы имеем равнобедренный треугольник с основаниями AB и высотой AH, опущенной из вершины A на основание BC. Мы знаем, что AB = 26 и AH = 24.

1. Поскольку треугольник равнобедренный, высота AH делит основание BC пополам. Обозначим точки: пусть D — это основание высоты AH на стороне BC. Тогда BD = DC и BD = DC = x.

2. Поскольку AD — высота, то, по теореме Пифагора в треугольнике ABD, мы можем записать: \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] Подставим известные значения: \[ 26^2 = 24^2 + x^2 \] Это равенство можно упростить: \[ 676 = 576 + x^2 \] \[ x^2 = 676 - 576 = 100 \] \[ x = 10 \] Таким образом, BD = DC = 10.

3. Теперь, мы можем найти длину стороны AC (или BC), использовав теорему Пифагора в треугольнике ACD: \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \] Подставим значения: \[ AC^2 = 24^2 + 10^2 \] \[ AC^2 = 576 + 100 = 676 \] \[ AC = \sqrt{676} = 26 \]

4. Теперь у нас есть все стороны: AB = AC = 26 и AH = 24. Мы можем найти cos(∠BAC). В равнобедренном треугольнике cos(∠BAC) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[ cos(∠BAC) = \frac{AD}{AB} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}. \]

Таким образом, \( cos(∠BAC) = \frac{12}{13} \).