Постройте график функции y=x² 2x-|x²-9|-8 и определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки
Для начала, давайте проанализируем данную функцию \( y = x^2 + 2x - |x^2 - 9| - 8 \).
Разделим функцию на части. Мы знаем, что модуль \( |x^2 - 9| \) можно разбить на два случая:
- Если \( x^2 - 9 \geq 0 \) (то есть \( x \leq -3 \) или \( x \geq 3 \)), то \( |x^2 - 9| = x^2 - 9 \).
- Если \( x^2 - 9 < 0 \) (то есть \( -3 < x < 3 \)), то \( |x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2 \).
Запишем функцию в каждом случае:
Для \( x \leq -3 \) и \( x \geq 3 \): \[ y = x^2 + 2x - (x^2 - 9) - 8 = 2x + 1 \]
Для \( -3 < x < 3 \): \[ y = x^2 + 2x - (9 - x^2) - 8 = 2x^2 + 2x - 16 \]
Теперь у нас есть две части функции:
- Линейная часть \( y = 2x + 1 \) (для \( x \leq -3 \) и \( x \geq 3 \)).
- Квадратичная часть \( y = 2x^2 + 2x - 16 \) (для \( -3 < x < 3 \)).
- Построим график:
- Линейная функция \( y = 2x + 1 \) — это прямая, которая проходит через точки (-3, -5) и (3, 7).
- Квадратичная функция \( y = 2x^2 + 2x - 16 \) — это парабола, открытая вверх. Ее можно исследовать, найдя вершину, коэффициенты и корни.
- Найдем корни квадратичной функции:
Используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-16) = 4 + 128 = 132. \]
Корни будут: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{132}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{33}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}. \] Это два действительных корня.
- Обсудим пересечения с прямой \( y = m \):
Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком, она должна пересекать один из участков графика в двух точках и другой в одной. То есть:
- Если прямая проходит через квадратичную часть, она должна проходить ниже её минимального значения и выше линии \( y = 2x + 1 \) для \( x \leq -3 \) и \( x \geq 3 \).
- Найдем минимальное значение квадратичной функции:
Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \) (внутри интервала -3 < x < 3): \[ y_{min} = 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) - 16 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 16 = \frac{1}{2} - 1 - 16 = -16.5. \]
Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно три пересечения с графиком, если \( m \) находится в диапазоне: \[ -16.5 < m < 1 \]
Это значит, что для значений \( m \) в этом диапазоне прямая пересечет график функции в ровно трех точках.
