TEMА 4. Квадратные уравнения С-33. Основные понятия Вариант 1 1. Приведите уравнение (2х - 4)(x + 1) = 3х + 2 ax2 + bx + с = 0 и выпишите его коэффициенты. к виду 2. а) Составьте квадратное уравнение, зная его коэффициенты 1 2 a = 2, b = 3 , = б) Докажите, что число -является корнем этого уравнения. 2 3. Решите неполное квадратное уравнение: a) x2 - 7x = 0; б) x2 - 121 = 0; b) 3x2 = 0. Вариант 2 1. Приведите уравнение (3 - 2x)(x - 1) = х - ах2 + bx + с = 0 и выпишите его коэффициенты. 2 к виду 2. а) Составьте квадратное уравнение, зная его коэффициенты a = -=,b = 0, c = 3. 4 б) Докажите, что число -2 является корнем этого уравнения. 3. Решите неполное квадратное уравнение: a) x2 - 196 = 0; б) 2х2 - 3x = 0; b) x2 + 1 = 0.
Хорошо, давайте подробно разберем заданные вами задачи по квадратным уравнениям.
Вариант 1
1. Приведите уравнение \((2x - 4)(x + 1) = 3x + 2\) к виду \(ax^2 + bx + c = 0\) и выпишите его коэффициенты.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
\[ (2x - 4)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 4 \]
Теперь равняем это выражение правой части:
\[ 2x^2 + 2x - 4 = 3x + 2 \]
Переносим все элементы в одну сторону:
\[ 2x^2 + 2x - 4 - 3x - 2 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 2x^2 - x - 6 = 0 \]
Таким образом, у нас получилось уравнение \(2x^2 - x - 6 = 0\) с коэффициентами:
- \(a = 2\)
- \(b = -1\)
- \(c = -6\)
2.
а) Составьте квадратное уравнение, зная его коэффициенты \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\).
Записываем уравнение:
\[ 2x^2 + 3x + 1 = 0 \]
б) Докажите, что число \(-\frac{1}{2}\) является корнем этого уравнения.
Подставим \(-\frac{1}{2}\) в уравнение:
\[ 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 0 \]
Вычислим каждый член:
\[ 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = 0 \]
Таким образом, \(-\frac{1}{2}\) действительно является корнем уравнения.
3. Решите неполное квадратное уравнение:
а) \(x^2 - 7x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\[ x(x - 7) = 0 \]
Это дает два решения:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 7 \]
б) \(x^2 - 121 = 0\)
Здесь можно воспользоваться формулой разности квадратов:
\[ (x - 11)(x + 11) = 0 \]
Это дает два решения:
\[ x_1 = 11, \quad x_2 = -11 \]
в) \(3x^2 = 0\)
Вынесем \(3\) за скобки:
\[ 3x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \]
Так как квадрат \(x\) равен нулю, то:
\[ x = 0 \]
Вариант 2
1. Приведите уравнение \((3 - 2x)(x - 1) = x - a\) к виду \(ax^2 + bx + c = 0\) и выпишите его коэффициенты.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
\[ (3 - 2x)(x - 1) = 3x - 3 - 2x^2 + 2x = -2x^2 + 5x - 3 \]
Теперь равняем это правой части:
\[ -2x^2 + 5x - 3 = x - a \]
Переносим все элементы в одну сторону:
\[ -2x^2 + 5x - x - 3 + a = 0 \]
Упрощаем:
\[ -2x^2 + 4x + (a - 3) = 0 \]
Таким образом, коэффициенты:
- \(a = -2\)
- \(b = 4\)
- \(c = a - 3\)
2.
а) Составьте квадратное уравнение, зная его коэффициенты \(a = \frac{1}{4}\), \(b = 0\), \(c = 3\).
Записываем уравнение:
\[ \frac{1}{4}x^2 + 0 \cdot x + 3 = 0 \] или просто: \[ x^2 + 12 = 0 \]
б) Докажите, что число \(-2\) является корнем этого уравнения.
Подставим \(-2\) в уравнение:
\[ \frac{1}{4}(-2)^2 + 3 = 0 \] \[ \frac{1}{4} \cdot 4 + 3 = 0 \] \[ 1 + 3 ≠ 0 \] Таким образом число \(-2\) не является корнем.
3. Решите неполное квадратное уравнение:
а) \(x^2 - 196 = 0\)
Используем разность квадратов:
\[ (x - 14)(x + 14) = 0 \] Это дает два решения:
\[ x_1 = 14, \quad x_2 = -14 \]
б) \(2x^2 - 3x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\[ x(2x - 3) = 0 \]
Это дает два решения:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{2} \]
в) \(x^2 + 1 = 0\)
Здесь мы можем записать:
\[ x^2 = -1 \]
Это уравнение не имеет действительных корней, но его решения в комплексной области:
\[ x = i, \quad x = -i \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
