не выполняя построения графика найдите нули функции и промежутки монотонности y=-4x²-8x
Для нахождения нулей функции и промежутков монотонности функции \(y = -4x^2 - 8x\) начнём с нахождения нулей функции. Мы ищем такие значения \(x\), при которых \(y = 0\).
Найдем нули функции:
Уравнение можно привести к виду:
\[ -4x^2 - 8x = 0 \]
Вынесем общий множитель \(-4x\):
\[ -4x(x + 2) = 0 \]
Теперь можем найти нули, приравняв каждое слагаемое к нулю:
\(-4x = 0 \Rightarrow x = 0\)
\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
Таким образом, нули функции: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -2\).
Определим промежутки монотонности:
Для этого найдем производную функции \(y\):
\[ y' = -8x - 8 \]
Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:
\(-8x - 8 = 0\)
Решаем это уравнение:
\(-8x = 8 \Rightarrow x = -1\)
Теперь определим знаки производной на промежутках, которые определяются нулями функции и найденной критической точкой: \(-\infty, -2, -1, 0, +\infty\).
Для \(x < -2\) (например, возьмем \(x = -3\)):
\(y'(-3) = -8(-3) - 8 = 24 - 8 = 16 > 0\), функция возрастающая.
На промежутке \((-2, -1)\) (например, \(x = -1.5\)):
\(y'(-1.5) = -8(-1.5) - 8 = 12 - 8 = 4 > 0\), функция также возрастающая.
На промежутке \((-1, 0)\) (например, \(x = -0.5\)):
\(y'(-0.5) = -8(-0.5) - 8 = 4 - 8 = -4 < 0\), функция убывающая.
Для \(x > 0\) (например, \(x = 1\)):
\(y'(1) = -8(1) - 8 = -8 - 8 = -16 < 0\), функция убывающая.
Таким образом, функция имеет следующее поведение:
- Возрастает на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((-2, -1)\)
- Убывает на интервалах \((-1, 0)\) и \((0, +\infty)\)
Итак, мы нашли нули функции и промежутки монотонности. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
