X+3/x²+9 * (x+3/x-3 + x-3/x+3)

Давайте рассмотрим ваше выражение:

\[ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \left( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \right) \]

Сначала упростим часть, содержащую дроби \( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \).

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель будет \( (x-3)(x+3) \). Теперь преобразуем дроби:

\[ \frac{x+3}{x-3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)} \]

\[ \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)} \]

Теперь складываем:

\[ \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} \]

Раскроем квадрат в числителе:

\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9, \] \[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9. \]

Теперь сложим их:

\[ x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = 2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9). \]

Теперь мы можем записать \( \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} \) как:

\[ \frac{2(x^2 + 9)}{(x-3)(x+3)}. \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{2(x^2 + 9)}{(x-3)(x+3)}. \]

Теперь упростим:

\[ = \frac{(x+3) \cdot 2(x^2 + 9)}{(x^2 + 9)(x-3)(x+3)}. \]

Сократим \( (x+3) \) и \( (x^2 + 9) \):

\[ = \frac{2}{x-3}. \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{2}{x-3}. \]

Если у вас есть другие вопросы или хотите углубить тему, не стесняйтесь спрашивать!