4. Коэффициент подобия треугольников СОР и СОР, равен 3. Найти площадь треугольника СОР если СО-2,5 см, ОС-2 см, а угол между этими сторонами равен 60°.

Для решения этой задачи, начнем с нахождения площади треугольника СОР с помощью формулы площади, основанной на двух сторонах и угле между ними. Формула для площади треугольника выглядит так:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( a \) и \( b \) — длины сторон,
• \( \alpha \) — угол между этими сторонами.

В нашем случае:

• \( a = СО = 2,5 \, \text{см} \),
• \( b = ОС = 2 \, \text{см} \),
• \( \alpha = 60° \).

Подставим значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 2 \cdot \sin(60°) \]

Значение \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Теперь можем продолжить:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Упрощаем:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2,5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2 \]

Теперь у нас есть площадь треугольника СОР. Но нам нужно найти площадь треугольника СОР при коэффициенте подобия, равном 3. По свойству подобных фигур, площадь увеличивается в квадрате коэффициента подобия.

Площадь треугольника СОР можно найти как:

\[ S_{СОР} = S_{СОП} \cdot k^2 \]

где \( k = 3 \):

\[ S_{СОР} = \left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right) \cdot 3^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right) \cdot 9 = \frac{45\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника СОР равна \(\frac{45\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2\).