Две стороны треуголькика равны 5 см и 7 см ,а угол, противолежащий большей из них, равен 60° . а) Найдите третью сторону треугольника. б) Докажите ,что угол, противолежащий…

Для решения данной задачи воспользуемся теорией треугольников и косинусом угла.

а) Давайте обозначим стороны треугольника и углы. Пусть:

• \( a = 5 \) см (одна из равных сторон)
• \( b = 7 \) см (другая сторона)
• \( C = 60^\circ \) (угол, противолежащий стороне \( b \))
• \( c \) — третья сторона, которая нам нужно найти.

Мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая выражается следующим образом: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Подставим известные значения: \[ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) \]

Зная, что \( \cos(60^\circ) = 0.5 \): \[ c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0.5 \] \[ c^2 = 25 + 49 - 35 \] \[ c^2 = 39 \]

Теперь найдём \( c \): \[ c = \sqrt{39} \]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \( c \approx 6.24 \) см.

б) Для доказательства того, что угол, противолежащий третьей стороне (обозначим его как \( A \)), острый, воспользуемся следующим свойством: если \( c < a + b \), то угол \( A \) будет острым.

Чтобы проверить это, нам нужно найти угол \( A \) с помощью теоремы синусов: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \]

Нам также нужно найти угол \( B \): Сначала находим угол \( B \) с использованием теоремы косинусов: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) \] При подстановке мы имеем: \[ 7^2 = 5^2 + 39 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{39} \cdot \cos(B) \] Эта формула может быть сложной для обработки, поэтому лучше воспользоваться свойством углов в треугольнике: сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ A + B + C = 180^\circ \] Мы уже знаем, что \( C = 60^\circ \), так что: \[ A + B = 120^\circ \]

Так как одна из сторон меньше, чем сумма двух других, это означает, что не только \( A \), но и \( B \) острее 90°, и, следовательно, угол \( A \) тоже острый.

Таким образом, угол, противолежащий третьей стороне, острый.