Периметр параллелограмма равен 90 см, острый угол — 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма.
Для решения задачи начнём с данных, которые у нас есть:
- Периметр параллелограмма \( P = 90 \, \text{см} \).
- Острый угол \( \alpha = 60^\circ \).
- Диагональ делит тупой угол в отношении \( 1:3 \).
Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \). Периметр параллелограмма рассчитывается по формуле: \[ P = 2(a + b) \] Подставляя известное значение периметра: \[ 90 = 2(a + b) \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 45 \, \text{см} \quad (1) \]
Теперь воспользуемся информацией о делении диагонали. Дупой угол параллелограмма равен \( 180^\circ - \alpha = 120^\circ \). Если обозначить тупой угол как \( \beta \), то: \[ \beta = 120^\circ \] Диагональ делит этот угол в отношении \( 1:3 \), следовательно, углы у диагонали будут \( \frac{1}{4} \cdot 120^\circ = 30^\circ \) и \( \frac{3}{4} \cdot 120^\circ = 90^\circ \).
Теперь можем применить закон синусов в треугольнике, образованном одной из сторон и диагональю параллелограмма. Пусть диагональ делит сторону \( b \) и образует острые углы \( 30^\circ \) и \( 90^\circ \). Сторона \( a \) будет против угла \( 30^\circ \).
Используя закон синусов: \[ \frac{a}{\sin(30^\circ)} = \frac{b}{\sin(90^\circ)} \] Так как \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(90^\circ) = 1 \), получаем: \[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = b \quad \Rightarrow \quad a = \frac{b}{2} \quad (2) \]
Теперь подставим уравнение (2) в уравнение (1): \[ \frac{b}{2} + b = 45 \] Объединим: \[ \frac{3b}{2} = 45 \] Умножим обе стороны на \(\frac{2}{3}\): \[ b = 30 \, \text{см} \]
Теперь, подставив значение \( b \) в уравнение (2), найдём сторону \( a \): \[ a = \frac{30}{2} = 15 \, \text{см} \]
Итак, стороны параллелограмма равны: \[ a = 15 \, \text{см}, \quad b = 30 \, \text{см} \]
Это и есть ответ на задачу: стороны параллелограмма составляют 15 см и 30 см.
